Свою трудовую биографию Михаил Андреевич начал в 16-летнем возрасте в ЦУМе (Центральный универмаг Мосторга). Сначала учеником электромонтажника, а потом и штатным электриком универмага. Там же впервые вышел на сцену художественной самодеятельности. Читал стихи и играл в любительских спектаклях. Самодеятельный театр Мосторга курировали актёры МХАТа. Именно они заметили талантливого парня и посоветовали ему сменить профессию и учиться на актёра.
1936 году 18-летний Михаил поступил в Школу-студию киноактёра, которую закончил в 1940 году. Был призван в армию и службу проходил в Театре Красной армии. Во время войны, в составе творческих бригад, выступал перед бойцами на фронте.
В 1946 году Глузский был зачислен в штат Театра-студии киноактёра, где прослужил более полувека.
В фильмографии актёра полторы сотни киноролей, многие из которых главные либо первого плана. Примерно столько же фильмов актёр озвучил при дубляже. Например, в 60-х годах он был голосом французского комика Луи де Фюнеса (кроме ролей, которые озвучивал Владимир Кенигсон). Голосом Глузского говорят и другие звёзды мирового кино, а также многие мультперсонажи. Его часто приглашали для озвучки документальных фильмов.
Но в 90-е годы уже немолодой актёр остался без средств к существованию: работы не было, а ранее отложенные деньги на «чёрный день» обесценились:
«Был момент, когда я с семьёй жил очень, очень бедно. Это были ужасные времена. И меня пригласили в Германию по контракту. Там, конечно, началась совсем другая жизнь. Но через какое-то время я прервал контракт и вернулся домой.
Помните, в «Лесе» у Островского Аркашка Счастливцев рассказывает о том, как он попал к тетушкам-богомолкам? Они его приодели, кормили по всем правилам — завтрак, обед, ужин. Покой, в общем! «И я, — говорит Аркашка, — однажды ночью просыпаюсь и думаю: а не удавиться ли мне?». И сбежал. Так и я сбежал из-за границы примерно с такими же мыслями…».
Это отрывок из интервью 1999 года после вручения ему кинематографической премии «Ника». Так получилось, что это было его последнее интервью.
13 мая 2001 года, сразу после завершения спектакля «Чайка», в котором Глузский играл Сорина, его из театра на Скорой отвезли в больницу. А через несколько часов в результате острого тромбоза актёру ампутировали ногу.
К сожалению, из больницы он так и не вышел. Через месяц 82-летний актёр скончался на больничной койке в результате инфаркта.
